Soma de vetores - método do polígono

Dados os vetores representados no esquema abaixo, vale a seguinte relação:

Resolução:

O vetor soma entre n vetores pode ser obtido pela regra do polígono. Para tal devemos indicar um ponto O qualquer como origem. A partir do ponto O desenhamos o primeiro vetor. O segundo vetor deve iniciar a partir do fim (seta) do primeiro e assim por diante. O vetor soma será o vetor com início em O e que fecha o polígono. Para a figura acima consideremos que o início (ponto O) coincide com o início do vetor . Veja os vetores soma nas figuras abaixo:

Observando as figuras e pela definição de vetor soma, podemos concluir que:

Projétil lançado verticalmente para cima.

(UNIP-SP) – Em um local onde o efeito do ar é desprezível e a aceleração da gravidade é constante, um projétil é lançado verticalmente para cima, a partir do solo, no instante t = 0, com velocidade escalar V₀.

No instante t = T, projétil atinge sua altura máxima, que vale H. A velocidade escalar do projétil, durante o seu movimento de subida, vale em um instante t₁, quando sua altura, relativa ao solo, vale h₁. Os valores de h₁ e t₁ são dados por:

Nota: a figura não foi feita em escala correta.

Resolução:

Para determinarmos o instante T, no qual o projétil atinge a altura máxima, podemos utilizar a equação da velocidade para o MUV (v = v₀ + a . t). A velocidade do projétil no ponto mais alto da trajetória é igual a zero (v = 0 ).

No instante t₁ a velocidade é . Logo t₁ será:

Relacionando as equações (I) e (II) concluímos que:

A altura máxima atingida pelo projétil pode ser obtida pela equação de Torricelli   

(). No ponto mais alto da trajetória a velocidade do projétil é zero (v = 0).

No instante t₁ a velocidade é . Portanto utilizando-se a equação de Torricelli podemos determinar a altura h₁ do projétil no instante t₁.

Relacionando as equações (III) e (IV) concluímos que:

Voleibol - Lançamento vertical

Uma bola de vôlei é impelida verticalmente para cima, de uma posição bem junto ao solo, no instante t₀ = 0 e com velocidade de módulo V₀.

A bola passa pela altura da rede no instante t₁ = 0,30s (subindo) e no instante t₂ = 1,7s (descendo). Adote g = 10m/s² e despreze o efeito do ar.

Calcule

a) o módulo V₁ da velocidade da bola no instante t₁.

A velocidade V₁ pode ser obtida a partir da equação (V = V₀ + a . t). Utilizaremos a velocidade inicial obtida no item b.

V₁ = 10 – 10. 0,3

V₁ = 10 – 3

V₁ = 7 m/s

b) o valor de V₀.

A velocidade de um corpo lançado verticalmente para cima quando passa por um determinado nível (no caso a altura da rede), tem o mesmo módulo tanto na subida quanto na descida. 

Portanto, V₁ = - V₂.

c) a altura da rede.

A altura da rede pode ser obtida através da equação do espaço  (s = s₀ + v₀ . t + (a . t²) / 2)  para  o instante t₁ = 0,3 s.

d) a altura máxima atingida.

A altura máxima atingida pela bola pode ser obtida a partir da equação de Torricelli:

V² = V₀² + 2. a . Δs

No ponto mais alto da trajetória da bola, a velocidade é igual a zero.

0² = 10² + 2 . ( - 10) . H_máx.

0 = 100 – 20 . H_máx.

20 . H_máx. = 100

H_máx. = 100 / 20

H_máx. = 5 metros.

Dragon Ball Z

(UNIFENAS-MG-MODELO ENEM) –Em um dos episódios do desenho animado Dragon Ball Z, o herói Sayajin, Goku, precisa salvar seu filho, Gohan, de uma queda vertical do topo de um precipício de 500 m de altura. Goku parte do repouso do alto do precipício, cinco segundos após o início da queda de Gohan, que também partiu do repouso. Admitindo-se que o módulo da aceleração da gravidade local é 10,0m/s² e desprezando-se a resistência do ar, a menor aceleração escalar constante que Goku deve imprimir ao seu voo vertical para conseguir salvar seu filho, que está em queda livre, é:

a) 4,0m/s²                                                        Dados do problema:

b) 6,7m/s²                                                        Goku                               Gohan

c) 20,0m/s²                                                       g = 10 m/s²                        a = ?

d) 40,0m/s²                                                       v₀ = 0                                v₀ = 0

e) 44,0m/s²                                                       Δh = 500 m                              Δh = 500 m

                                                                          t_q = t                               t₁ = t – 5

Podemos determinar o tempo que Goku levaria para atingir o solo em queda livre:

Como Gohan parte 5 segundos após Goku, ele tem no máximo 5 segundos (10 - 5 = 5s) para alcançá-lo antes que atinja o solo. Então é possível determinar a mínima aceleração necessária para que ele consiga salvar seu filho: